Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Trong toán học , ký hiệu Kronecker delta là một hàm số của hai biến , thường là các số nguyên không âm. Hàm số có giá trị 1 nếu hai biến bằng nhau, và 0 nếu chúng khác nhau:
δ
i
j
=
{
1
i
=
j
,
0
i
≠
j
.
{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&\quad i=j,\\0&\quad i\neq j.\end{cases}}}
hoặc bằng
dấu ngoặc Iverson :
δ
i
j
=
[
i
=
j
]
{\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}
trong đó Kronecker delta
δij là một
hàm số xác định theo từng khoảng của các giá trị
i và
j . Ví dụ,
δ 1 2 = 0, còn
δ 3 3 = 1. Hàm Kronecker delta xuất hiện thường xuyên trong các ngành toán học, vật lý, và kỹ thuật để đơn giản hóa định nghĩa ở trên. Hàm số được đặt tên theo
Leopold Kronecker .
Trong đại số tuyến tính , ma trận đơn vị I kích thước n × n có các phần tử xác định bằng Kronecker delta:
I
i
j
=
δ
i
j
{\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}
trong đó
i và
j mang các giá trị
1, 2, ..., n . Ngoài ra,
tích trong của các
vectơ có thể được viết dưới dạng
a
⋅
b
=
∑
i
,
j
=
1
n
δ
i
j
a
i
b
j
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}\delta _{ij}a_{i}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}
Thông thường, hàm Kronecker delta chỉ được xét trên tập số nguyên, tuy nhiên nó có thể được định nghĩa trên một tập hợp bất kỳ.
Ta có những đẳng thức sau
∑
j
δ
i
j
a
j
=
a
i
,
∑
i
a
i
δ
i
j
=
a
j
,
∑
k
δ
i
k
δ
k
j
=
δ
i
j
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}}
Do đó, ma trận
δ có thể được coi như một ma trận đơn vị.
Một dạng khác cũng đôi khi được sử dụng là dạng chuỗi cấp số nhân :
δ
n
m
=
1
N
∑
k
=
1
N
e
2
π
i
k
N
(
n
−
m
)
{\displaystyle \delta _{nm}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}}
Ta có thể biểu diễn Kronecker delta bằng dấu ngoặc Iverson :
δ
i
j
=
[
i
=
j
]
.
{\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}
Ngoài ra, ký hiệu một biến δi cũng thường xuất hiện, tương đương với việc cho j = 0 :
δ
i
=
{
1
,
i
=
0
,
0
,
i
≠
0.
{\displaystyle \delta _{i}={\begin{cases}1,&\quad i=0,\\0,&\quad i\neq 0.\end{cases}}}
Trong đại số tuyến tính , Kronecker delta có thể được coi là một tensor và ký hiệu bằngδi j . Đôi khi nó được gọi là tensor thay thế.[1]
^ Trowbridge, J. H. (1998). “On a Technique for Measurement of Turbulent Shear Stress in the Presence of Surface Waves” . Journal of Atmospheric and Oceanic Technology . 15 (1): 291. Bibcode :1998JAtOT..15..290T . doi :10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2 .